Intro

此系列为 18.06-Linear Algebra 2005 的学习总结
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概述

线性+代数,线性代数这门课成最直观的理解就是解线性方程.本节的核心就是从Row Picture和Column Picture 两个角度解方程.

线性方程组的集合解释

例如现在有如下方程组,两个未知数,两个方程式. 下面将从行与列两个视角给出方程式的集合解释

$\bigg\{ \begin{aligned} 2x-y=0 \\ -x+2y=3 \end{aligned}$

行图像

首先按行将方程式写成用矩阵形式:$
\left[
\begin{matrix}
2&-1\\
-1&2
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
x\\
y
\end{matrix}
\right]
=
\left[
\begin{matrix}
0\\
3
\end{matrix}
\right]
$
等式左侧,左侧矩阵对应未知数的系数称为系数矩阵, x, y 对应未知数称为未知向量,等式右侧为线性变换的结果.亦可简写作$A\vec{x}=\vec{b}$的形式.其中:

系数矩阵(A):将方程组系数按行提取出来,构造完成的一个矩阵.
未知向量($\vec{x}$):将方程组的未知数提取出来,按列构成一个向量.
向量($\vec{b}$): 将等号右侧结果按列提取,构成一个向量.

和中学时代学过的东西一样,两个直线方程,观察它们交点的情况.在此个例中,两条直线交于一点,意味着此方程式有唯一解.

Fig.1 - Row Picture.

列图像

还是这个方程$
\bigg\{
\begin{aligned}
2x-y=0 \\
-x+2y=3
\end{aligned}
$
竖着观察矩阵,有如下等式.意味求使两向量的线性组合等于等式右侧向量的 x 和 y (在下图中记做了a和b).

$x\left[ \begin{matrix} 2\\ -1 \end{matrix} \right] +y\left[ \begin{matrix} -1\\ 2 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0\\ 3 \end{matrix} \right]$

Fig.2 - Column Picture.

滑动a,b不难发现,此例中的两向量可以构成任意方向的向量,布满整个二维空间.

集合解释的高维推广

以三维为例,有如下方程组

$\begin{align} 2x-\mathbin{\hphantom{0}y}\hphantom{-0z}&=\hphantom{-}0 \\ -\hphantom{0}x+2y-\hphantom{0}z&=-1\\ \hphantom{-0x}-3y+4z&=\hphantom{-}4 \end{align}$

矩阵如下

$A=\left[\begin{matrix} 2&-1&0\\ -1&2&-1\\ 0&-3&4 \end{matrix}\right], b=\left[\begin{matrix} 0\\ -1\\ 4 \end{matrix}\right]$

行图像

如果绘制行图像,很明显这是一个三个平面相交得到一点,想直接看出这个点的性质并不容易.
可行的思路是先联立其中两个平面,使其相交于一条直线,再研究这条直线与平面相交于哪个点,最后得到点坐标即为方程的解.
这个求解过程对于三维来说或许还算合理,那四维呢?五维甚至更高维数呢?直观上很难直接绘制更高维数的图像,这种行图像受到的限制也越来越多.

$\left[\begin{matrix} 2&-1&0\\ -1&2&-1\\ 0&-3&4 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} x\\ y\\ z \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} 0\\ -1\\ 4 \end{matrix}\right]$

列图像

使用列图像的思路进行计算,那矩阵形式就变为：
左侧是线性组合,右侧是合适的线性组合组成的结果,这样一来思路就清晰多了,”寻找线性组合”成为了解题关键.
不难看出,只需要取 x = 0, y = 0, z = 1 就可使线性组合成立,这在行图像之中并不明显.
当然,之所以推荐使用列图像求解方程, 是因为这是一种更系统的求解方法,即寻找线性组合,而不用绘制每个行方程的图像之后寻找那个很难看出来的点.

矩阵乘法

有矩阵 $A_{m*n}$ 和 $B_{n*l}$ , 则矩阵乘法 $AB$ 的结果为一个 $C_{m*l}$ 的矩阵.
矩阵C中的每一个元素可以视作矩阵A的某一行和B的某一列的点积(dot product), $C_{ij}=\text{ith row of A} · \text{jth column of B}$ .
还有一种视角,可以将C中的每一列视作矩阵B中每个列向量和A的线性组合的结果.