矩阵消元

概述

这节主要讲如何通过消元来系统的求解方程组.并通过消元引入了些许逆矩阵的基础知识.

消元法解方程

和初中学过的东西一样,你可以把任意一行乘以某个数加到另一行,调换一整行等式的顺序并不改变你的方程.在矩阵中你仍然可以这样做.$A\vec{x}=\vec{b}$如下:

$\left[\begin{matrix} 1&2&1\\ 3&8&1\\ 0&4&1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} 2\\ 12\\ 2 \end{matrix}\right]$

将A与b写在一个矩阵里,称作增广矩阵(Augment Matrix)

$\left[\begin{matrix} 1&2&1|&2\\ 3&8&1|&12\\ 0&4&1|&2 \end{matrix}\right]$

用第二行减去三倍的第一行可得

$\left[\begin{matrix} 1&2&1 &2\\ 0&2&-2&6\\ 0&4&1 &2 \end{matrix}\right]$

用第三行减去两倍的第二行可得

$\left[\begin{matrix} 1&2&1 &2\\ 0&2&-2&6\\ 0&0&5 &-10 \end{matrix}\right]$

从最后一行 $5x_3=-10$ 回代,便可求出 $x_2,x_1$ 的值